mathematiques secondaire

TRAVAUX DIRIGES

Proposé par : Stagiaires -Tchepanou Achille Boris. -Palie B Albert.

A-RECIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE.

EXERCICE1 Déterminer la fonction réciproque de la fonction fdans les cas suivants    

EXERCICE2       Soit f la fonction définie sur  par.

1-Etudier la continuité de f sur.

2-Justifier que f est minoré par -2 sur.

3-Démontrer que fest bijective de  vers un intervalle à déterminer.

4-Déterminer la bijection réciproque  de.  

EXERCICE3   Soit f la fonction définie sur par :   .

1-Etudier la continuité de f sur l’intervalle .

2-Justifier que pour tout .

3-Dresser le tableau de variation de f et déterminer l’intervalle .

4-Démontrer que f réalise une bijection de vers .

5-Déterminer la réciproque  de .

EXERCICE4   Dans les cas suivants  désigne la courbe représentative de la fonction bijective f. Tracer la courbe, courbe représentative de la fonction réciproque  de .Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

B-FONCTION EXPONENTIELLE.

EXERCICE5    Ecrire plus simplement les expressions suivantes :

1. b)    c)    d) 
2. e) f)      g)    h)

EXERCICE6     Ecrire les nombres suivants sous la forme  (aÎR).

EXERCICE7    Ranger dans l’ordre croissant.

EXERCICE8    On pose :     et     .

• Calculer : .
• Montrer que : .

EXERCICE9     Simplifier les expressions suivantes.

                  .

EXERCICE 10

• Ecrire, pour tous nombres réels x, les expressions suivantes en fonction de ex.

1. a)                     b)                     c)                     d)   .

• Vérifier pour tous nombres réels x, les égalités suivantes.

1. c)
2. b) d)

Résolution des équations et inéquations dans R.

EXERCICE 11    Résoudre dans R les équations suivantes

1. a) c)
2. b) d) e)

EXERCICE 12     Résoudre dans R les équations suivantes

1. a) b)
2. c)   d).

EXERCICE13     On considère le polynôme P tel que :

                                         .

1-Montrer que 1 est une racine de P(x).

2-Déterminer les réels a, b et c tels que : .

3-Ecrire P(x) sous forme de produits de facteurs du premier degré.

4-Résoudre l’équation P(x)=0.

En déduire la résolution de l’équation :

                               .

EXERCICE14     Résoudre dans R les équations suivantes :

1. a)       b)                         c)
2. d)    e)                       f).

EXERCICE 15     Résoudre dans R les inéquations suivantes :

1. a) b) c)
2. d) e) f).

EXERCICE16    Résoudre dans R les inéquations suivantes :

1. a) b)
2. c) d).

EXERCICE17     1- Soit P le polynôme définie sur R par :

                                                .

a)Calculer P(2).

               En déduire une factorisation de P(x).

1. b) Etudier le signe de P(x) suivant les valeurs de x.

2- En déduire dans R les solutions de :

1. L’équation : .
2. L’inéquation : .

EXERCICE18     1- Résoudre dans R :

                                  a)l’équation : .

1. b) l’inéquation : .

2-a) En utilisant la question 1-a) résoudre dans R l’équation :

                                        .    (On pourra poser).

   b)En utilisant la croissance de la fonction exponentielle, résoudre dans R l’inéquation :

                               .

EXERCICE19   Résoudre dans R les inéquations suivantes :

1. a)                           b)
2. c)                         d).

Résolution des systèmes d’équations

EXERCICE20   1- Résoudre dans R² le système suivant :

                                         .

2-En déduire les solutions dans R² des deux systèmes suivants :

1. a)                          b).

EXERCICE21  Résoudre dans R² les systèmes suivants :

1. a) b) c)
2. d) e)                   f).

Domaine de définition, calcule des limites et de la dérivée.

EXERCICE 22 Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

1. a) b) c)
2. d) e)            f).

EXERCICE23   Dans chacun des cas suivants, calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

1. a) b) c)
2. d) e).

EXERCICE24   Calculer les limites suivantes :

1. a) b) c)
2. d) e) f).

EXERCICE 25  Calculer les limites en   et     des fonctions suivantes :

1. a) b) c).

EXERCICE26  Calculer les limites suivantes :

1. a) b) c)
2. d) e)

EXERCICE27   Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :

1. a) b) c)
2. d) e)              f).

C-ETUDE DE FONCTIONS COMPROTANT exp.

EXERCICE 28   Le plan est muni du repère orthonormé (O, I, J) tel que : 4cm représente une unité sur chaque axe. On désigne par f la fonction définie par : , etz sa courbe représentative.

• Calculer la dérivée f’de la fonction f, et dresser le tableau de variation de f.
• Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse -1.
• Calculer f(1) et f(2), puis construire la courbez.

EXERCICE29

• Résoudre dans R l’inéquation : .
• On considère la fonction , on désigne parz la courbe représentative de fdans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).

         a)Démontrer que, pour tous nombres réels x, .

             En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers.

1. b) Calculer la dérivée f’de f et trouver le signe de f’(x) suivant les valeurs de x.

              Dresser le tableau de variation de f.

1. c) Montrer que la droite (D) d’équation : y=x-2 est asymptote oblique en à la courbez.
2. d) Tracer (D) etz.

EXERCICE 30   Le plan est muni d’un repère orthogonal tel que 2cm représentent une unité sur chaque axe.

          Soit f la fonction définie par :  ; etz sa courbe représentative.

1-a) Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.

1. b) Calculer la limite de f en
2. c) Vérifier que pour tout x de D_f, .
3. d) Démontrer que la droite d’équation x=ln2 est également une asymptote àz.

2-Déterminer la fonction dérivée f’de f.

3-Construire la courbez.

4-Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x de D_f, .

EXERCICE31   Le repère (O, I, J) est orthonormé.

      Soit fla fonction définie par : .On désigne parz la courbe représentative de f.

1-Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2-Démontrer que la droite (D) : y=-x+1 est asymptote oblique àz en .Préciser la position dez     et (D).

3-a) Etudier les variations de la fonction f’, fonction dérivée de f.

1. b) En déduire que pour tout xÎR, f’(x)>0.
2. c) Que peut-on dire du sens de variation de la fonction f dans R ?

4-Tracerz et (D).

EXERCICE 32  On considère la fonction f définie par ; et on notez sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J) d’unité graphique 1cm.

1-Calculer la limite de f en.

      On admet que : .

2-a) Montrer que la droite (D) d’équation y=x-1 est asymptote à la courbez en.

1. b) Préciser la position relative dez et (D).

3-a) Etudier les variations de f, et dresser le tableau de variation.

1. b) Déterminer la tangente à la courbez au point O.

4-Construire (D) etz.

5-Soit g la fonction définie par g(x)=-f(x) et  z_g sa courbe représentative.

1. a) Etudier la position relative des courbesz_g  etz.
2. b) Tracer la courbez_g dans le même repère quez.

6-Soit h la fonction définie par : .

                            et  z_h sa courbe représentative.

  a)Etudier la parité de h.

1. b) Comparer het fpour.

  c)En déduire le tracé dez_hdans le repère précédent.